titreşim

TAŞIT TİTREŞİMLERİ ve TEKERLEK ASKI SİSTEMLERİ Leave a comment

  1. TAŞIT TİTREŞİMLERİ ve TEKERLEK ASKI SİSTEMLERİ

 

1.1. Titreşimler üzerindeki çalışmaların hedefi

 

            Taşıtlarda enerji kaynağı olarak hayvan yerine motorların kullanılmaya başlaması taşıt hızını ve hareket kabiliyetini önemli ölçüde arttırmış ancak bu artış başka problemleri de beraberinde getirmiştir. Genel olarak yolların ideal şekilde düz olmaması, tekerlek lastiklerindeki yaylanmanın bu düzgünsüzlüğü karşılayamaması ve taşıtların normal hallerde üçten fazla tekerleğe sahip olması tekerleklere düşey doğrultuda bir hareket serbestliği temin etme lüzumunu ortaya çıkarmıştır. Tekerleklere bu imkanı vermek üzere yaylar kullanılmıştır. Yayların taşıttaki ödevi :

 

  1. Yoldan gelen ve düzgün olmayan darbeleri muntazam titreşimlere çevirmek ve
  2. Bu titreşimleri yardımcı elemanlarında kullanılması ile en kısa zamanda söndürmektir.

 

Tabiatıyla bu esnada taşıtın, virajda denge, doğrultu kontrolü, v.b. gibi özelliklerinde bir değişiklik olmamalıdır. Titreşimler taşıtta hareket konforuna tesir ederler ve taşıtta konforun tayini, gerekli sınırların konulması ise daha çok fizyolojik ve psikolojik problemlerdir. Taşıt mühendisinin görevi ise taşıtta hareket konforuna tesir eden  çeşitli faktörleri ortaya koymak ve fizyologlarla birlikte insan üzerindeki tesirlerini incelemek, konforu arttırmak için gerekli teorik ve pratik çalışmaları yapmaktır. Titreşimler yol, taşıt, yolcu ve taşıtın çeşitli parçaları arasında relatif hareketlere sebep olurlar ve bu hareketlerde yerine göre taşıtın kabiliyetini, yolcunun rahatını bozabilirler.

 

Titreşimler üzerindeki araştırmaların hedefi yukarıda bahsedilen faktörlerin mahiyeti incelemek, bunların sebeplerine inerek zararlı tesirlerini yok etmek veya azaltmak yollarını aramak ve taşıtta hareket konforunu arttıracak tedbirleri almaktır. Bu konudaki teorik çalışmalar genel olarak matematik metotları ihtiva eder ve hareket denklemlerinin çıkarılması, bu denklemlerin sistemin sabitelerine ve zorlama kuvvetinin frekanslarına tabi olarak çözülmesi ve nümerik çözümlerin elde edilmesine götürür. Ancak matematik çözümler çok defa basitleştirilmiş  ve gerçeklerden kısmen ayrılmış haller için yapıldığından neticelerin deneysel metotlarla tahkiki lüzumludur.

 

1.2. Basitleştirilmiş bir taşıt modelinin titreşimi

           

Bir taşıt genel olarak 6 değişik şekilde titreşim yapabilir. Bunlar da (Şekil 1.1);hareketleridir.

Şekil 1.1 – Taşıtın çeşitli titreşimli

 

Üç doğrusal hareket

            X ekseni boyunca titreşim       : ileri – geri sarsılma

            Y ekseni boyunca titreşim       : yana kayma

            Z ekseni boyunca titreşim       : aşağı – yukarı sarsılma

            Üç açısal hareket

            X ekseni etrafında                   : yalpa

            Y ekseni etrafında                   : başvurma

            Z ekseni etrafında                   : savrulma

 

Ayrıca bağımsız tekerlek asılışında akslarda orta noktalarından geçen Z ve X eksenleri etrafında titreşim hareketi yapabilirler. Bu 6 çeşit hareket taşıtta ayrı ayrı olabildiği gibi bir kaçı bir arada da meydana çıkabilir. Karayollarında hareket eden motorlu taşıtlar için aşağı – yukarı hareket, başvurma ve yalpa hareketleri önemlidir. İleri – geri sarsılma daha çok buharlı lokomotiflerde bahis konusu olur fakat yol taşıtlarında ihmal edilebilir. Özel olarak taşı titreşimlerine girmeden önce, titreşimler hakkında bazı temel bilgileri tekrarlamak yerinde olur.

 

1.2.1. Sönümsüz serbest titreşimler

 

Şekil 1.2’de gösterilen ve bir kütle ile yaydan ibaret olan mekanik sistemi göz önüne alalım. Bu sistem basit bir römorku temsil edebilir. Üzerine oturtulmuş kütlenin G ağırlığı altında yay bir δst miktarı kadar sıkışır ve k yay sabitesi gösterdiğine göre

k . δst = G          olur.

 

Eğer G kütlesine düşey doğrultuda bir x0 yer değiştirmesi verilir. (Bu hareket + veya – doğrultuda olabilir) ve sistem kendi haline bırakılırsa belirli bir titreşim sayısı ile bir hareket başlayacaktır. Herhangi bir dış kuvvet tesir etmediği müddetçe bu hareket devam eder. Kütlenin denge konumundan bir x uzaklığındaki konumu için tesir eden kuvvetlerin dengesi yazılırsa; (x’in artma yönündeki kuvvetler + ve azalma yönünde tesir eden kuvvetler – işaretli olarak alınmıştır.)

Şekil 1.2 Basit bir sistemin sönümsüz serbest titreşimleri

 

                                                d²x

G – k  (δst + x) = m    ——— 

                                                               d t²

                                                                             k

k . δst = G olduğundan, hareketin denklemi, ———  = w²  konularak,

m

 

   d²x

            ———   + w² x = 0  olarak bulunur.                                                                        1.1

               d t²

 

 

Statik denge konumu sıfır konumu olarak seçilmiştir. Bu diferansiyel denklemin genel çözümü

 

x= A sin wt + B cosw t şeklindedir.

d x

A ve B sabiteleri sınır şartları kullanılarak bulunabilir. Eğer t= 0 için x = x0 ve  ———  = 0                                                                                                                                      d t

alınır ise, yani kütle bir x0 konumundan ilk hızı olmadan serbest bırakılırsa, hareketin denklemi

x= x0 cos w t                           veya

x= x0 cos t     olur.                                                         1.2

   

Görüldüğü gibi bu bir basit harmonik hareket denklemidir. Mühendislikte basitleştirilmiş pek çok titreşim problemi basit harmonik hareketle ifade edilebilir. Bilindiği gibi bu hareket belli aralıklarla aynen tekrarlanmaktadır. Bu iş için geçen zaman :

 

     T= 2 x     [san]

T zamanına hareketin periyodu denir. w= ifadesi ise sistemin doğal dairesel   frekansını gösterir. Sistemin doğal frekansı

 

1                 1                k               w

            f =  ———  =  ———   ———  =  ———

                        t                2д               m              2д

 

ile ifade edilir. x0 değeri titreşimin genliğini gösterir. [1] [2]. Frekansın birimi titreşim/saniye yani 1/saniyedir. İngilizce konuşulan memleketlerde bu birim <<cycles per second>> yani c/ s tir. Almanca kitaplarda ve bir kısım Avrupa memleketlerinde ise frekans birimi olarak (*) Hertz’in adına izafeten Hertz terimi kullanılır ve kısaca Hz ile gösterilir.

 

1.2.2. Sürtünmeli sönümlü serbest titreşimler

 

Önceki halde gösterildiği gibi titreşime başlayan sisteme bir dış kuvvet tesir etmediği müddetçe titreşim hareketi sürüp gider. Ancak pratikte çeşitli direnç veya dış kuvvetlerin tesiri ile bu hareket yavaşlar ve nihayet sona erer.

 

Direnç kuvvetleri arasında, cisme tesir eden hava direnci hızın düşük olması sebebiyle ihmal edilirse, sürtünme kuvvetleri en önemli yer işgal eder. Sürtünme direncinin tesiri altındaki kütlen bu hareketi bir sönümlü titreşim olur. Yay üzerindeki kütleye gene bir x0 yer değiştirmesi verilirse, herhangi bir x konumu için denge denklemi şu şekilde yazılabilir. (Şekil 1.3);

 

  d²x

m  =   ———   = G – k (δst + x) – F

  d t²

 

Şekil 1.3 – Sürtünmeli sönümlü serbest titreşimler

 

Burada F kütleye tesir eden sürtünme kuvvetidir ve tesir yönü kütlenin hareketine karşıdır. Böylece kütlenin yukarı ve aşağı doğru hareketlerinde farklı yönlere sahiptir.

k                           f

w² =  ———  ve   P =  ———         alınarak,

                          m                         m

 

hareket denklemi

d²x

———  +  w² = – P    şeklinde yazılır.

d t²

 

Denklemin genel çözümü, kütlenin yukarıya doğru hareketinde,

 

x1 = A1 sin (w t + Ø1) + P/w²

 

aşağıya doğru hareketinde

 

x2 = A2 sin (w t + Ø2) – P/w²             olur.

 

Hareketin kütleye bir ilk hız vermeden sadece x0 yer değiştirmesi ile başlatıldığı göz önünde

 

d x

tutularak sınır şartları  t = 0, x = x0, ———  = 0    olarak alınır ve

d t

 

 

д                                               P

cos Ø1 = 0 Ø1 =  ———                      A1 = x0 – ———  olduğundan hareketin denklemi,                               2                                                    w²

 

yukarı doğru gidişte

 

 

 

                                  F                              P 

            x =       x0 –  ——        cos w1t +  ——           olur.                                                    1.3

                                 w²                             w²            

 

 

1.3 denklemi ile verilen eğri şekil 1.3’te gösterilmiştir. Bu denklem eğrinin a – b kısmını vermektedir, b – c kısmı için ise aşağı inme hareketi göz önüne alınmalı ve bu hareketin başlangıç şartları yazılmalıdır. Bu halde

 

x2 = A2 sin (w t + Ø2 ) – P/ w²           denkleminde,

 

 

                     д                                   P            d x

            t =  ——  için    x = -x0 + 2 ——  ve  ——  = 0 sınır değerleri konularak, b –c

w                                  w²           d t

eğrisinin denklemi bulunur;

 

 

 

                         P                          P  

x =      x0 – 3  ——     cos w t –  —— 

                        w²                         w²

 

 

görüldüğü gibi bir sürtünme kuvvetinin tesiri ile hareket eden kütlenin titreşimi bir cosinüs

  P

eğrisi ile gösterilebilmektedir. Ancak hareketin genliği bir periyodun sonunda 4  ——   kadar

  w²

azalmaktadır.

 

 

 

 

1.2.3. Viskoz sönümlü serbest titreşimler

 

            Bilindiği gibi bir sıvı içinde hareket eden cisme o cismin hızı ile orantılı bir direnç kuvveti tesir eder ve bu direnç kuvvetinden pratikte arzu edilmeyen titreşimleri söndürmek için faydalanılır. (Hidrolik amortisörler). Bu durumda hareket eden kütleye tesir eden direnç

d x

kuvveti C . ———  ifadesi ile gösterilebilir ve C bir sönüm katsayısıdır. Viskoz sönümlü bir

                       d t

titreşim denklemi şu şekilde yazılabilir :

 

x           d x

m —— + C —— + k x = 0

                              d t²                      d t

 

C.g        C                 k.g

denklemde      —— = —— = k ve  —— = w²         ile

G          m                  G

 

gösterilirse,

 

x            d x

——– + k ——– + w² x = 0                                                                         1.4

d t²            d t

elde edilir. Bu denklemi çözmek için çeşitli metotlar takip edilebilir. x = A . est ifadesinin çözümlerden birisi olduğu kabul edilirse,

 

d x

                          ——  = s A est = s x 

                            d t

                          

 

   d² x 

                          ——  = s² A est = s² x

                           d t²  

 

bulunur. Bu değerler 1.4 denkleminde yerine konularak

 

x + k s x + w² x = 0

 

elde edilir. Hareket hali bahis konusu olduğundan x ≠ 0 dır.

 

Böylece

s² + k s + w² = 0

 

denklemi ve bu denklemin kökleri olarak ta

 

k       

s1,2 = – —— ± —————               bulunur.                                              1.5

  • 2

 

Karekök içindeki terimin değerine bağlı olarak üç ayrı hal olabilir.

 

k² > 4 w²         yani                   reeldir.

 

k

k² = 4 w²         bu halde          s = – ——        dir.

2

 

            k² < 4 w²            ifadesi sanaldır.

 

  1. k² > 4 w² ise;

Bu durumda 1.5 denkleminden – s1 ve – s2 gibi iki negatif kök elde edilir, 1.4 diferansiyel denkleminin özel çözümleri

 

x1 = A1 e-s1t        ve        x² = A2 es2 t

 

değerleri olabildiğinden, denklemin genel çözümü ise,

 

x = A1 e-s1t  + A2 es2 t                                                                                                                                 1.6

 

şeklinde olur.

d x

Sınır şartları t = 0 için x = x0   ve —— = 0 olarak yazılıp sabiteler hesaplanarak,

d t

 

                         S2                                                           S1

            A1 = ———  x0             ,           A2 = ———

                              S2 – S1                                                   S1 – S2

Hareketin genel denklemi elde edilir;

 

S2                                                         S1

x =   ———   x0 e-s1t         +             ———  x0 e-s3 t                                                                    1.7

                     S2 –S1                                                  S1 – S2

 

 

Şekil 1.4 – Viskoz sönümlü serbest titreşimler

 

Şekil 1.4’den görüldüğü gibi, bu hareket gerçekte bir titreşim olmayıp, x0 konumundan, sıfır değerine yaklaşan bir harekettir. Sönüm kuvvetinin büyük olması sebebiyle bu hareket <<aşırı sönümlü>> veya kritik üstü sönümlü titreşim denebilir.

 

  1. k² = 4w² ise;

 

Bu halde 1.4 diferansiyel denkleminin çözümü,

 

x = A e– k/2 .t                            olur.                                                                           1.8

 

Ancak 1.4 denklemi ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem olduğundan ve 1.8 denkleminde ise sadece bir sabite olduğundan bu genel çözüm olamaz ve genel çözüm

x = e– k/2 .t           (A1 + A t)         

 

şeklinde yazılabilir. Önceki halde alınan sınır şartlarına göre A1 = x0 ve A2 = 0 elde edilir. Hareketin denklemi :

 

            x = x0   e– k/2 .t                   olur.                                                                                       1.9

 

Görüldüğü gibi bu harekette bir titreşim değil sadece denge konumuna dönüştür. (Şekil 1.4)

 

k² = 4w² = ——— den bu hale ait sönüm katsayısı C = 2 w . m bulunur.

                                  m²

 

C’nin bu değerine kritik sönüm katsayısı denir, ve bu harekete de kritik sönümlü titreşim ismi verilir.

  1. k² < 4w² ise;

 

Bu durumda, kökler

k         √ 4 – k²     

S1,2 = – —— ± i ———— = – a + ib

  • 2

 

 k                 √ 4 – k²          

a = + —— ; b =  ± ————

             2                        2

 

şeklinde yazılır ve 1.4 diferansiyel denkleminin genel çözümü aşağıdaki şekilde bulunur :

 

x = A1 e(-a+ib)t + A2 e(-a-ib)t           eat =  [A1 . e  + A2. ]

            e-ibt  = cos b t + i sin b t                                ve

            e-ibt  = cos b t – i sin b t

ifadelerinden faydalanılarak,  

 

x = e-at [c1 cos bt + c2 sin bt] bulunur.                                                                     1.10

c1 = A1 + A   ve        c2 = i A1 – iA2                 dir.

 

d x

Sınır şartları t = 0, için x = x0   ve ——— = 0 olarak yazılıp, sabiteler c1 = x, c2 = 0 olarak

d t

hesaplanarak hareketin genel denklemi elde edilir :

 

x = x0 . e at      cos b t

Şekil 1.4’ten görüldüğü gibi, 1.10 eğrisi  x = eat    eğrisine teğet kalarak sıfıra yaklaşmaktadır. Bu hareket gerçek bir titreşimdir ve <<kritik altı sönümlü titreşim<< olarak isimlendirilebilir. Titreşimin periyodu,

 

 

b.T = ————— . T = 2д

2

 

            T = 4 л /  

c

olarak bulunur. Önceki hallerde olduğu gibi k = ——— dir. Bu harekette titreşimin genliği

m

geometrik bir seriye göre azalır.

 

1.2.4. Sönümsüz zorlanmış titreşimler

            Serbest titreşim yapabilen bir sistemin hareketi ona bir x0 yer değiştirmesi vererek temin edilebildiği gibi, her hangi bir dış kuvvetin devamlı veya kesikli etkisi ile de meydana getirilebilir. Bahis konusu olan halde dış kuvvet P = P0 sin t  ise, denge denklemi

 

d² x

m ——— + k x = P0 sin wº t                                                                                   1.11

d t²

 

şeklinde yazılabilir.

 

1.11 denkleminin x = x0 sin w t şeklinde bir özel çözümü olduğu düşünülürse, 1.11’de yerine konularak, titreşimin genliği  x0,

 

                         P0 / k

            x0 = —————

                     1- (wº/w

 

ve kütlenin yer değişimi,

 

P0 / k

x = ————— sin wº                                                                                            1.12

                    1- (wº/w

 

elde edilir. Bu denklemde P0/k değeri, yayın, P0 kuvvetinin etkisi altındaki statik uzamasını verir ve xst ile gösterilebilir. Denklem 1.12’de verilen değer bir özel çözümdür ve 1.11 denkleminin genel çözümü eklemekle elde edilir. Bu genel çözüm

 

 

xst

x = c1 sin wt + c2 cos wt + ————— sin t                                                      1.13

1- (wº/w

 

şeklinde olur. Denklemdeki ilk iki terim sistemin sönümsüz serbest titreşimini ve son terim ise sönümsüz zorlanmış titreşimini gösterir. Görüldüğü gibi 1.13 denkleminde w0 ve w olarak iki ayrı frekans vardır, w0 dış kuvvetin frekansıdır. w ise mevcut sistemin doğal titreşim

                                                                                                                       x

frekansıdır. Bunlar tamamen birbirlerinden bağımsız değerlerdir. Eğer  ——— = f (w0 / w)

xst

olarak (denklem 1.12) çizilirse, hareket hakkında bazı önemli neticeler elde edilir. Şekil 1.5’ten de görüldüğü gibi w0 = w olduğu anda, kuvvet kütleyi en uygun zamanda uygun doğrultuya itmektedir. Böylece de ufak bir kuvvetle genlik sonsuz büyük değerler almaktadır. Bu olaya <<rezonans>> denir ve doğal frekans w0 , yada rezonans frekansı ismi verilir. Böyle bir zorlama kuvveti taşıta yoldan da gelebilir. Tekerlek, yol üzerindeki bir sinüsoidal çukuru aşarken aynı şekilde ikaz kuvveti tesir eder.

 

Şekil 1.5 –Zorlanmış titreşimler

 

Bu halde

 

2дV

wº = ———  olur. 1, yol dalgasının uzunluğu, v, ise tekerliğin hareket hızıdır. Yukarıda

1

bahsedilen rezonans hali bu durumda da w0 = w için ve w0’ın w’ın tam katlarına eşit olması halleri için ortaya çıkar. Eğer yol üzerindeki dalgalar aralıklı ise ve aralar, w veya onun tam katlarına eşit olacak şekilde ise rezonans gene mevcuttur. Ancak pratikte yol üzerindeki dalga şekilleri düzgün geometrik eğrilerle ifade edilemezler.

1.2.5. Viskoz sönümlü zorlanmış titreşimler

 

Eğer bir periyodik kuvvetle harekete zorlanmış olan bir sisteme bir viskoz söndürücü eklenirse, hareketin diferansiyel denklemi şu şekilde yazılır :

d² x             x

———  + c ——— + k  x = P0 sin t

d t²               d  t

 

denklemde

c                    k                       P0

k = ——— , w² = ———  ve F = ———   konularak,

m                   m                      m

 

               d² x             d x

            ——— + k ——— + w² x = F sin t                                                                   1.15

    d t²             d t

 

denklemi elde edilir.

 

Bu diferansiyel denklemin genel çözümü, sağ tarafsız çözümüne, bir özel çözüm eklenmesi ile elde edilebilir.

 

1.15 denkleminin sağ tarafsız şekli bölüm 12.3’te incelenen, yani viskoz sönümlü serbest titreşimler halidir ve hareketin genel denklemi 1.10 ifadesi ile verilmiştir. Şu halde, 1.15 denkleminin çözümü,

 

x =  e-at (c1 cos b t + c2 sin b t)

 

şeklinde olur. Ayrıca

 

x = B1 sin t + B2 cos t

 

ifadesinin de, 1.15 denkleminin bir çözümü olabileceği görülür. Böylece viskoz sönümlü, zorlanmış bir titreşimin genel denklemi,

 

x = A1 e-s1t + A2 e-s2t   +   B sin (t +Ø)                                                                1.16

Serbest titreşim         Zorlanmış titreşim

şeklinde yazılabilir.

 

Periyodik zorlama kuvvetinin uzun süre devam etmesi halinde, serbest titreşim kısmı ortadan kalkar ve sürekli bir zorlanmış titreşim durumu ortaya çıkar. Bölüm 12.3’te  incelendiği gibi s1 ve s2 köklerinin değerine göre üç ayrı titreşim hali ayırmak mümkün olur. Bu üç hale göre hareketin denklemleri şu şekilde yazılabilir.

 

  1. s1 ve s2 reel köklerdir. Hareket aşırı sönümlü bir titreşimdir ve denklemi :

x = A1 e-s1t + A2 e-s2t   +   B sin (t +Ø)                                                                 1.17

şeklinde yazılabilir.

 

  1. s1 = s2 = – k / 2’dir. Kritik sönümlü titreşim. Hareketin denklemi,

x  = e+k/2t (A1 +A2) + B sin (t + Ø)                                                                     1.18

olur.

 

  1. s1 ve s2 sanaldır. Hareket kritik altı sönümlü bir titreşimdir, ve denklemi,

x = e-at (c1 cos b t + c2 sin b t) + B sin (t + Ø)                                                    1.19

olur. Bu denklemlerdeki sabiteler, daha öncede gösterildiği gibi, sınır şartları kullanılarak kolayca hesaplanabilirler. Zorlama kuvvetinin devamı halinde sadece zorlanmış hareket kalacağından,

 

x = B sin (t + Ø)    denkleminden faydalanılarak titreşimin genliği hesaplanabilir. Denklemde x’in türevi alınarak, 1.15 denkleminde yerine konursa,

 

d x              

            ——— = + wº B cos ( wº t + Ø)

   d t              

 

d² x            

            ——— = – w0²  B sin ( w0 t + Ø)

   d t²             

 

sin w0 t [B (w² – w0²) cos Ø – k w0 B sin Ø –F]

+cos w0 t [B (w² – w0²) sin Ø + k w0 B cos Ø] = 0                                                      1.20

 

bulunur. Bu ifade t nin her değeri için doğru olduğundan t=0 konularak,

kw0

tan Ø = ————                                                                                                      1.21

w² – w0²

 

                                                           д         

bulunur. 1.20 denkleminde w0 t = ——— konularak, sin Ø ve cos Ø değerleri de 1.21 ifadesin-

2

den hesap edilip aynı denklemde yerine konarak, titreşim hareketinin genliği

F

B = ————————                                                                                            1.22

 

olarak bulunur.

         c

1.21 denkleminden görüldüğü gibi, titreşimde faz açısı Ø,  k = ——— ya, yani sönüm

w0                                                         m

(damping) katsayısına ve —— frekans oranına bağlıdır. (Şekil 1.6)

w

 

Şekil 1.6 – Zorlanmış viskoz sönümlü titreşimler

 

Zorlanmış titreşimlerin genliğinin, yayın statik sıkışma miktarına oranına <<büyültme katsayısı>> ismi verilir. Statik sıkışma miktarı ise kütleyi taşıyan yayın, ikaz kuvvetinin maksimum değerinin yani P0’ın tesiri altındaki sıkışmadır.

 

B               B.k               B                                      P0

Büyültme katsayısı = ———— = ———— = ————                    F =             ————

                                      P0 / k                        m F           w² . F                                     m  

 

                                           1

            B . K = ————————————                                                                    1.23

 

Şekil  1.7 den görüldüğü gibi, büyültme katsayısının maksimum değeri w = wolduğu zaman, yani rezonans durumunda elde edilir. Görüldüğü gibi bu eğri aynı zamanda titreşimin genliğini de gösterir ve çeşitli sönüm katsayısına göre bir eğri verir. Sönüm katsayısı arttıkça titreşim genliği azalmaktadır.

 

Bir yay ve kütleden ibaret bu sistemin titreşimi basitleştirilmiş bir taşıtın hareketine de tatbik edilebilir. Taşıt hızı v ve yol düzgünlüğünün dalga boyu 1 ise v/1 = w0/2 д olur. Sistemde viskoz sönüm kabul edilirse, faz açısı 1.21 denklemi ile ve hareketin genliği 1.22 denklemi ile verilir. Böylece taşıtın zorlanmış hareketi tamamıyla bilinmektedir. (Şekil 1.7). Bu halde;

 

  1. Taşıtın zorlanmış hareketinin denklemi

F

x1 = ————————— sin (w0 t +Ø)                                                                  1.24

 

 

  1. Taşıtın sönümlü serbest titreşiminin denklemi ise;

x2 =   e-at (c1 cos b t + c2 sin b t)        dir.                                                                 1.25

 

                                                   d x

Burada sınır şartları  t = 0 ,  x =ve ——— = 0 kullanılarak sabiteler hesaplanır. Neticede

d t

taşıtın düşey doğrultudaki hareketinin genel denklemi

 

x = x1 + x2

 

olarak elde edilir. Dikkat edileceği gibi, a ve b hallerindeki hareketlere ait frekanslar farklıdır ve ancak sönüm katsayısının çok küçük olması halinde birbirlerine yaklaşırlar.

 

Şekil 1.7 – Amortisörlü bir taşıtın arızalı bir yolda hareketi

1.3. Birleştirilmiş sistemlerin titreşimi

 

            Genel olarak taşıt titreşimleri önceki kısımlarda bahsedilen basitleştirilmiş denklemlerle ancak ön hesaplar için gösterilir. Gerçekte taşıtlar çok yay ve birden fazla serbestlik derecesine sahip sistemlerdir. Taşıt titreşimini en genel halde incelemek yerine göz önüne alınacak çeşitli hareketler için bazı modeller kabul etmek yerinde olur. Şöyle ki; taşıtın aşağı – yukarı titreşim hareketi için elastik olarak bağlanmış iki serbestlik dereceli bir sistem, baş vurma ve yalpa hareketinin incelenmesi içinde iki noktadan mesnetli tek kütleli bir sistem (Şekil 1.8), göz önüne alınabilir.

 

1.3.1. Elastik olarak bağlı iki kütleli sistem

 

            Tekerleklerin elastikliği de göz önüne alınırsa, Şekil 1.9’da gösterilen iki serbestlik dereceli sistem elde edilir. Burada k1, tekerleğin yay sabitesi, m1 aks ve tekerlek kütlesi, k2 taşıt yayalarına ait sabite ve m2 de taşıtın yaylar üzerine oturtulmuş kütlesidir. Bu sistemin titreşimi taşıtın aşağı – yukarı hareketini verir ve bu sisteme ait hareket denklemi yardımı ile taşıtın düşey doğrultudaki hareketi incelenebilir. [3] [4]. Tekerlek lastiğinin bir sönüm etkisi yapmadığı kabul edilirse [5] Şekil 1.8’deki m1 ve m2 kütlelerinin denge denklemleri şu şekilde olur :

Şekil 1.8 – Taşıtın üç önemli zati frekansını hesaplamak için kullanılan basitleştirilmiş modeller

 

m1 kütlesine tesir eden kuvvetlerin dengesi :

d² x1

            m1 ——— + k1 x1 = k2  (x0x1)                                                                              1.26

                   d t²

m2 kütlesine tesir eden kuvvetlerin dengesi :

 

d² x2

            m2 ——— + k2  (x0x1) = 0                                                                                    1.27

                    d t²

 

Bu ifadelerde x1 ve x2, sırası ile göz önüne alınan t anındaki m1 ve m2 kütlelerinin eyer değiştirme miktarlarıdır. Böylece 1.26 ve 1.27 denklemleri sistemin serbest titreşimlerini tayin eder. Bu diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmak için m1 ve m2 kütlelerinin, aynı bir frekansla harmonik hareket yaptıkları kabul edilirse,

 

            x1 = a1 sin w t                                                                                                           1.28

            x= a2 sin (w t + Ø)                                                                                                  1.29

 

yazılabilir. Burada a1 ve a2 hareketin bilinmeyen genlikleridir. Ve iki kütlenin ayı fazda hareket ettiği kabul edilemeyeceğine göre Ø her iki hareket arasındaki faz açısıdır. Bu halde 1.28 ve 1.29 denklemleri 1.21 ve 1.27 diferansiyel denklemlerinin çözümüdür ve bu denklemleri gerçeklemelidir. Çözümler denklemde yerine konursa,

 

m1 a1 w² sin wt + k1 a1 sin wt – k2 a2 sin (wt + Ø) + k2 a2 sin wt = 0                    1.30

m2 a2 w² sin (wt + Ø) + k2 a2 sin (wt + Ø) – k2 a2 sin wt = 0                                  1.31

 

Bu denklem t nin bütün değerleri için doğru olmalıdır, aynı zamanda t = 0 değeri içinde denklem 1.29’da, t = 0 konursa,

 

k2 a2 sin Ø  = 0          ve

            Ø = 0 , д , 2 д , ………..         elde edilir.

 

Kütleler ya aynı frekans ve farklı genlikle birlikte gidip gelir, veya birisi inerken diğeri çıkar. 1.30 ve 1.31 denklemleri faz açısından bu değeri için tekrar yazılır.

 

[–m1 a1 w² + k1 a1 – k2 (a2 – a1)] sin wt = 0

            [–m2 a2 + k2 (a2 – a1)] sin wt = 0

buradan,

– m1 a1 w² + k1 a1 – k2 (a2 –a1) = 0                                                                           1.32

            – m2 a2 + k2 (a2 – a1) = 0                                                                                     1.33

denklemleri elde edilir. Bu iki denklemden, yukarıdaki kabulü gerçekleyecek a1, a2 ve w değerleri bulunabilir. Ancak üç bilinmeyen olduğuna göre, bilinmeyenlerin her üçü değil de a1/a2 oranı ve w bulunabilir. 1.32 ve 1.33 denkleminden,

 

a1               k2                 a1             k2 – m2w²

—— = ————— ve —— = —————

  a2         k1+k2 – m1w²           a2                k2

 

a1

değerleri bulunur. ——‘nin iki değeri eşitlenerek,

a2

 

                                              k1 + k2          k2                   k1 k2

                w4     ———— + ———   +   ——— = 0                                                      1.34

                                   m1                  m2                 m1 m2

 

denklemi elde edilir. Görüldüğü gibi 1.34 denklemi iki frekans değeri verir ve her birisine göre de bir a1/a2 oranı elde edilir.

 

Eğer taşıtta yol arızalarından gelen kuvvetler gibi her hangi bir dış kuvvet tesir ederse, zorlanmış titreşimlerin hareket denklemi benzer şekilde yazılabilir. Yol düzgünlüğünden gelecek zorlama kuvvetinin, önceki halde olduğu gibi periyodik bir P kuvveti olduğunu kabul edelim. Hareketin diferansiyel denklemi aşağıdaki şekilde yazılır :

 

d² x1        

m1 ——— + k1 x – k2 (x2 – x1) = P0 sin w0 t                                                                                               1.35

d t²         

 

                   d² x2        

            m2 ——— + k2 (x2 – x1) = 0                                                                                    1.36

d t²

 

Bu denklemlerin,

            x1 = a1 sin w0 t  

                x2 = a2 sin w0 t

şeklinde çözümleri olabileceği kabul edilebilir. Bu ifadeler 1.35 ve 1.36 denklemlerinde yerine konarak,

–m1 a1 w0² + k1 a1 – k2 (a2 – a1)  = P0

            –m2 a2 w0² + k2 (a2 – a1) = 0

denklemleri elde edilir. Buradan hareketin genlikleri :

m2 w0²

                        1 –   ————

                                     k2

a1 = P0 ———————————————                                                                     1.37

                    m2 w0²

             1 – ———     k1 +k2 – m1 w0²     – k2

                       k2

 

1

a2 = P0 ————————————————                                                                 1.38

                         w0²

             1 – m2 ——       k1 +k2 – m1 w0²     – k2

                          k2

 

olarak bulunur.  

 

1.3.2. İki noktadan mesnetli tek kütleli bir sistem

 

            Şekil 1.9’da gösterilen kütlesi m olan blok iki serbestlik derecesine sahiptir. Bunlardan birisi S ağırlık merkezinin aşağı yukarı hareketi öteki ise blok’un ağırlık merkezi etrafındaki dönme hareketidir. İlk hareket taşıtın aşağı – yukarı titreşimine ve ikinci hareket ise başvurma ve yalpa titreşimlerine tekabül eder. Blok’un bu iki hareketi birbirlerinden bağımsız değildir. Bunlardan birisi başladığı zaman öteki harekette uyarılır. Bu hadiseye kuplaj denir. Hareketlerin bu özelliğinden dolayı, örneğin, yol üzerindeki bir çukurdan geçen taşıtta meydana gelen aşağı – yukarı titreşimler, aynı zamanda başvurma titreşimlerine de sebep olacaklardır. Şekil 1.9’da gösterilen sistemin hareket denklemleri kolaylıkla yazılabilir.

 

Şekil 1.9 – Bir kütleli iki serbestlik dereceli sistem

 

 

 

Konservatif bir sistem için Lagrange denklemi

 

     d               ∂  L                  ∂  L

                        ———        ———        –  ——— = 0

                            d t             ∂  qi                  ∂  qi

 

şeklindedir. Denklemde T, sistemin kinetik enerjisini ve V, de potansiyel enerjisini göstermek üzere L = T – V dir. Şekilde gösterilen konumda A ve B noktalarında yayların G kuvvetinin etkisi altındaki uzunluk değişmeleri δA ve δB , kolayca bulunabilir.

 

G 12                                                     G 11      

            δA = ———                           δB = ———

                      1.k1                                                 1.k2

 

Bu durumda sistemin kinetik ve potansiyel enerjileri şu şekilde bulunur :

 

 

1           G                    1

Kinetik Enerji           T = ——— ——— . x² + ——— I q²

                                               2          g                      2

 

                                               k1                                           k2

Potansiyel Enerji      V = ——— (Z +11 q )² + ——— (Z – 12 q

  • 2

 

Bu değerler,

 

                 d               ∂  L              ∂  L

            ———       ———    –  ——— = 0

                d t              ∂x                x           

 

denkleminde yerine konursa,

 

               ∂  L        

            ——— = – k1 (x + 11 q ) – k2 (x – 12 q )       

               ∂ x      

           

               ∂  L           G

            ——— = ———  x = m  x    

               ∂x              g            

           

            x = – k1 (x + 11 q ) – k2 (x – 12 q )                                                                                  1.39

 

Kütlenin, ağırlık merkezi etrafındaki açısal hareketi için, Lagrange denklemi

 

                 d               ∂  L              ∂  L

            ———       ———    –  ——— = 0

                d t              ∂ q              q          

 

şeklinde kullanılarak, hareket denklemi bulunur.

 

               ∂  L     

            ——— = – k1 11 ( x + 11 q) + k2 12 ( x – 12 q)

               ∂ q

 

               ∂  L     

            ——— = I q

               ∂ q

 

            I q = – 11 k1 ( x + 11 q ) + 12 k2 ( x – 12 q )                                                              1.40

 

neticede bir sadeleştirme yapabilmek için 1.39 ve 1.40 denklemleri,

 

m x + x (k1 +k2) +q (11 k1 – 12 k2) = 0

I qq (k1 11² +k2 12²) + x (k1 11 – k2 12) = 0

 

Şeklinde yazılır ve bazı yeni sabiteler kullanılır. Burada,

 

k1 + k2 = ke                            eşdeğer yay sabitesi

k1 11² + k2 12² = kte                      eşdeğer torsiyon yay sabitesi

k1 11 – k2 12 = kk                    kublaj sabitesi

 

olarak kabul edilir ve denklemlerde yerine konur.

 

m x + ke + x + kk . q = 0                                                                                          1.41

I q +  kte . q + kk . x = 0                                                                                           1.42

 

Kuplaj sabitesi kk , kütlenin her iki hareketi (doğrusal ve açısal hareketi) arasındaki bağlantıyı gösterir. Eğer kk ║0 ise, iki hareket arasında kuplaj vardır. Yani hareketlerden birisi uyarılırsa, örneğin kütle aşağıya doğru itilip bırakılırsa, öteki harekette başlar ve bu hadiseye kuplaj denir. Eğer kk = 0 ise yani k1.11 = k2.12  ise kuplaj olmaz. Kütle bu halde ya sadece aşağı – yukarı doğru hareket eder veya sadece ağırlık merkezi etrafında bir dönme yapar. Eğer 1.41 ve 1.42 denklemlerinde kk = 0 konulursa;

 

m x + ke  x  = 0

I q +  kte . Ø = 0

 

bulunur ki, ilk denklem sadece aşağı – yukarı hareket eden ve ikincisi ise sadece ağırlık merkezi etrafında dönen kütleye ait denklemlerdir. Bu eylemler birbirlerinden bağımsızdır.

Tekrar 1.41 ve 1.42 denklemleri göz önüne alınıp 13.1 de olduğu gibi bu denklemlerin

 

 

            x =x0 sin w t  

            q = q 0 sin w t

 

şeklinde çözümleri olduğu kabul edilebilir. Bu ifadeler 1.41 ve 1.42 de yerlerine konursa,

 

          ke               kte                             ke . kte – kk²

w4    —— + ———   w² +   ——————              = 0                                                    1.43

                       m        I²  m                       4 m² I²           

 

 

denklemi elde edilir. 1.43 denkleminin kökleri

 

                       ke           kte                               ke                kte

                    —— + ———             —— + ———           

                       m         m I²                   m         m I²              4 (ke kte – kk²)

            = ——————  ±  √      ——————        –  ———————

                               2                                    4                               4 m² I²

 

olarak bulunur.

 

Bu denklemden de görüldüğü gibi kuplaj yüksek frekansı daha yüksektir ve düşük frekansı da düşürür.

 

Görüldüğü gibi taşıtın ağırlık merkezinin ve yay sabitelerinin uygun seçilmesi,

(k1 11 = k2 12 ), titreşim hareketlerinin bağımsız olmasını temin edebilmektedir. Bu konuda bazı yeni tariflerin yapılması taşıt konstruksiyonu için değerli sonuçlar verir. [6]

 

Şekil 1.10’daki DB çubuğu yaylar üzerine oturtulan taşıt gövdesini göstersin. Eğer A noktasına, dış P kuvveti tesir ederse, sistemin gövdesini teşkil eden DB kütlesi D´B konumunu alır. Yani bu kuvvetin tesiri altındaki harekette B noktasının yeri değişmemiş olur. Eğer P kuvveti B noktasına tesir etse idi, A noktasının yeri değişmeyecekti. Göz önüne alınan sistemde,

 

k1            12          

——— = ———

                 k2            11

 

olacak şekilde bir C noktası tayin edilirse, bu noktaya yaylanma merkezi denir. Eğer C noktasına bir kuvvet tesir ederse, katı cisim ilk konumuna paralel olarak aşağı – yukarı hareket eder. Daha önce bahsedildiği gibi taşıtın ağırlık merkezi, yaylanma merkezinde olursa, birbirinden bağımsız iki ayrı titreşim hareketi elde edilir. A ve B noktalarının, C noktasına olan uzaklıkları d ve e ise,

 

e . d = 11 . 12               olur.

 

Şekil 1.10

 

Bu şartı gerçekleyen A ve B gibi nokta çiftlerine elastik eşlenik [7] noktalar ismi verilir. Yukarıdaki bağıntıdan görüleceği gibi sonsuz sayıda böyle nokta çifti vardır. Taşıtın S ağırlık merkezinde toplanmış olan kütlesi m ve ağırlık merkezine göre kütlesel atalet momenti de m i² olsun. i, girasyon yarıçapını göstermektedir. Taşıtın m kütlesi yerine, bu kütle ile kinetik eşdeğer olan iki kütleden ibaret bir sistem alınabilir. İki sistemin kinetik eşdeğer olması için üç şartı gerçeklemeleri icap eder :

 

  1. Her iki sistemin kütlesi eşit olmalıdır.
  2. Her iki sistemin ağırlık merkezleri aynı noktada olmalıdır.
  3. Ağırlık merkezine göre atalet momentleri eşit olmalıdır.

 

Bu şartlar şu şekilde yazılabilir :

 

            m1 + m2 = m

            m1 r = m2 . s

            m1 r² + m2 s² = m i²

 

Görüldüğü gibi m1, m2, r ve s den ibaret dört bilinmeyenin bulunması için üç denklem yazılabilmektedir. Bu durumda bilinmeyenlerden birisi kabul edilip, ötekiler hesaplanacaktır. Yukarıdaki üç denklem arasında m1, m2 ve m yok edilirse,

 

r s = i²                                                                                                           1.44

bulunur. Burada r veya s den birisi seçilirse diğeri 1.44 denkleminden hesaplanır. m1 ve m2 kütlelerinin yerleştireceği, bu şekilde hesaplanmış nokta çiftlerine <<dinamik eşlenik>> noktalar denir. Dinamik eşlenik, ve elastik eşlenik noktalar kombine edilirse, elde edilecek nokta çiftleri dinamik ve elastik eşlenik noktalar olacaktır. Örneğin, Şekil 1.11 de ki H ve J noktaları her iki şartı da gerçekler. Bu noktalara çift eşlenik noktalar ismi verilir. Çift eşlenik noktaları hesaplamak için aşağıdaki dört denklemden faydalanılır :

 

r s = i²

            e . d = 11 . 12

                 d = r + x

                 e = s – x

 

Herhangi bir taşıtta, k², 11, 12 ve x bilindiğinden r, s, d, e bilinmeyenleri yukarıdaki denklemlerden hesaplanabilir. Böylece de verilen bir taşıtta çift eşlenik olabilecek yalnız bir nokta çifti vardır. Eğer ağırlık merkezi G ile yaylanma merkezi C çakışırsa, sonsuz sayıda çift eşlenik nokta çifti bulunabilir, bu noktalar arasında elastik olarak eşlenik olan A ve B noktaları da (Şekil 1.11), bu halde aynı zamanda dinamik eşlenik olurlar.

 

Şekil 1.11

 

Eğer bir taşıtın m kütlesi, kendisi ile kinetik olarak eşdeğer bir m1, m2 kütlelerine ayrılır e bu kütlelerde çift eşlenik noktalarda yerleşmiş olursa taşıtın titreşim hareketleri sınırlanmış olur. Bu halde kütlelerden birisinin atalet kuvveti sebebi ile başlayacak titreşim hareketi öteki kütleye tesir etmez yani <<kuplaj>> olmaz. Titreşim hareketi sabit kalan kütle merkezi etrafında bir açısal harekettir. Eğer sistem eşlenik noktalar dışındaki bir noktaya tesir eden bir kuvvet tarafından harekete geçirilmişse, çift eşlenik noktanın her ikisi de basit harmonik hareket ve bunların dışında kalan taşıt noktaları her iki harmonik hareketin birleşmesinden ibaret bir hareket yaparlar. Eğer taşıtta kütle merkezi ile yaylanma merkezi çakışırsa eşlenik noktalardan birisi sonsuza gider, diğeri ise yay  merkezindedir. İki müstakil hareketten birisi kütle yay merkezi etrafında açısal hareket, diğeri ise sonsuzdaki bir nokta etrafında açısal hareket yani bir öteleme hareketidir. Dört tekerlekli bir taşıtta, yol düzgünlüğünden dolayı ortaya çıkan kuvvetler, A ve B noktalarına tesir ederler. Eğer bu noktalar çift eşlenik noktalar olarak seçilmemişlerse, A ya tesir eden bir kuvvet B de de bir hareket meydana getirir. Eğer bu noktalar çift eşlenik noktalarsa, noktalardan birisine tesir -eden kuvvet sadece o noktada bir hareket meydana getirir yani <<kuplaj>> olmaz.

 

Bir cevap yazın

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Translate »